Matlab用導數作定性分析

5.1知識要點：函數作圖 —用導數定性描述函數

【????? clf,x=linspace(-8,8,30);f=(x-3).^2./(4*(x-1));? plot(x,f)??? 】

【????? fplot('(x-3)^2/(4*(x-1))',[-8,8]))????? 】

【???? clf,x=sym('x'); f=(x-3)^2/(4*(x-1)); ezplot(f,[-8,8])????? ,

title('(x-3)^2/(4*(x-1))','fontsize',11) ,

xlabel('x','fontsize',11)??????????????????????????? 】

◆按函數繪圖步驟繪制完整的函數圖，直接用Matlab符號演算完成必須的計算。

【??? df_dx=diff('(x-3)^2/(4*(x-1))')???????? 】

【???? sym('x');factor(df_dx)???????????????????? 】

【???? f=inline('(x-3)^2/(4*(x-1))');X1=[-1,f(-1)],X2=[3,f(3)]?????????? 】

求符號二階導數d2y/dx2：

【???? df2_dx2=diff(‘(x-3)^2/(4*(x-1))’,2)????? 】

二階導數的因式分解：

【??? sym('x'); factor(df2_dx2)　　????? 】

【????? syms x

f_left=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'left')

f_right=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'right')???? 】

【??? syms x

f_minus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,-inf,'right')

f_plus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,inf,'left')???????? 】

③有無斜漸近線？

【??? syms x, a=limit('((x-3)^2/(4*(x-1)))/x',x,inf)???????? 】

【??? b=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))-(1/4)*x',x,inf,'left')?????? 】

5.2實驗與觀察：微分方程的定性解圖示

5.2.1人口增長的預測

1.Malthus模型

2.Logistic模型

【?? N=dsolve('DN=r*(1-N/Nm)*N','N(t0)=N0')????????????? 】

3.微分方程解的定性分析

觀察1：

◆(1)求N = N (t)的駐點和拐點。

【????? syms t

dN2_dt2=diff('r*(1-N(t)/Nm)*N(t)',t) ,? dN2_dt2=factor(dN2_dt2)????????????????????? 】

4.用導數作穩定性分析

下面是繪制圖5.8的參考程序。

【???? clf, N=linspace(0,300,50);

dN=0.3134*(1-N/250).*N;

plot(N,dN),hold on,

plot([0 300],[0,0]),

plot([0,250/2,250],[0,0,0],'o'),

xlabel('N','fontsize',11),ylabel('dN','fontsize',11),

text(N(32),dN(32),'\leftarrow\it{d N / d t}>0,相點遞增右移','fontsize',11),

text(125,dN(45),'\it{dN/dt}<0,相點遞減左移???? \rightarrow','fontsize',11);

h=text(251/2,1.5,'\it{N_m/2}');set(h,'fontsize',11)????????????????????????? 】

5.觀察程序及其說明

zxy5_1.m??? (繪制函數圖象，圖5.3)

【?? clf, x=sym('x'); f=(x-3)^2/(4*(x-1)); g=x/4-5/4;

hold on,

h=line([-8 8],[0,0]); set(h,'color’,'red’);

h=line([0 0],[-8,8]); set(h,'color’,'red’);

line([1 1],[-8 8]);plot([-1 1 3],[-2,0,0],'o’),

ezplot(g,[-8 8]); ezplot(f,[-8,8]),??????? %符號函數繪圖

text(-1-0.5,-2-0.5,'(-1,-2)’);text(1,0-0.5,'(1,0)'); text(3,0.5,'(3,0)');

x=1.4;text(x,subs(f),'\leftarrow{(x-3)}^{2}/{4(x-1)}');

x=0.6;text(x,subs(f),'\leftarrow{(x-3)}^{2}/{4(x-1)}');

x=2.5;text(x,subs(g),'\leftarrow斜漸近線{y=x/4-5}');

text(1,-2,'\leftarrow垂直漸近線x=1');title('(x-3)^2/4(x-1)')??????? 】

zxy5_2.m? (人口預測，圖5.5)

【??? global p1;clf,

t1=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900??? 1910 1920 1930? 1940 1950? 1960? 1970? 1980 ];

x=[3.9? 5.3? 7.2? 9.6? 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0? 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];

p1(1)=3.9; p1(2)=250;p1(3)=1790;p1(4)=0.03134;

[t,N]=ode23('Logistic_fun',[1790 2100],3.9);

plot(t,N,t1,x,'o',t,250*ones(1,length(t))),axis([1790 2100 0 300]),

xlabel('t','fontsize',11), ylabel('N','fontsize',11)????????????????? 】

Logistic_fun.m

【????? function dN = Logistic_fun(t,N)

global p1

N0=p1(1);Nm=p1(2);t0=p1(3);r=p1(4);

dN =r*(1-N/Nm)*N;?? 】

zxy5_3.m? (方程的解軌線和相軌線，圖5.6)

【??? clear,clf

global p1;

p1(1)=3.9; p1(2)=250;p1(3)=0;p1(4)=0.03134;Nm=p1(2);

tpas=linspace(0,300,1000);

plot([0 0],[0,500],':',[0 300],[Nm,Nm],':',[0 300],[Nm/2,Nm/2],':'),

axis([-50 300 0 500]),xlabel('t'),ylabel('N'),hold on

text(-30,Nm,'\it{N_m}\rightarrow'); text(-35,Nm/2,'\it{N_m/2}\rightarrow');

button=1;

while button==1

k=[];

[t0,N0,button]=ginput(1);

[t,N]=ode23('Logistic_fun',tpas,N0);

k=find(N<=Nm/2+1&N>=Nm/2-1);

ts=tpas(k);Ns=N(k);?? text(-35,N0,'\it{N_0}\rightarrow');

plot(t0,N0,'o',ts,Ns,'square',t,N,':'),hold on

comet(t,N),pause,comet(0*ones(length(t),1),N)

end????????? 】

這一程序是不難讀懂的。

5.3 應用、思考和練習

5.3.1.函數作圖

◆(2) 下面的繪圖較復雜一些，是一個很好的練習。

圖5.9 x(t),y(t)的曲線

zxy5_4.m

【?? clf,n=2000;a=-4;b=6;c=-8;d=8;

t=linspace(a,b,n);

x=(t.^2)./(t-1);y=t./(t.^2-1);

kx=find(abs(x)>=d);x(kx)=NaN;

ky=find(abs(y)>=d);x(ky)=NaN;

plot(t,[x;y],'.','markersize',3),

hold on,plot([a b],[0,0],'r',[0 0],[c,d],':'),axis([a b c d]),

xlabel('t'),ylabel('x and y') ,

text(-3.8,7,'put any key to show x=x(t)');pause,comet(t,x),

text(-3.8,6,'put any key to show y=y(t)');pause,comet(t,y)??? 】

5.3.2.平衡點的分類

5.3.3定性分析的應用

1.捕魚業持續的收獲

畫定性分析圖的程序zxy5_4.m

【??? clf,clear,N=50; r=4.4;E=[0.5 2.2 6.5];x=linspace(0,N,30);

f1=r*x.*(1-x/N);plot(x,r.*x,':','linewidth',2),axis([0 50 0 80]),hold on

text(x(10),r*x(10),['\leftarrow y=rx,? r= ',num2str(r)])

for i=1:3

f2(i,:)=E(i)*x;

text(x(5),f2(i,5),['\leftarrow y=',num2str(E(i)),'x'])

end

plot(x,f1,x,f2),hold on,

text(x(22),f1(22),['\leftarrow dx/dt=rx(1-x/N)']),xlabel('x'),ylabel('dx/dt')?? 】

2. 蚜蟲生長和躍變

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab中的导函数驻点,Matlab用导数作定性分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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